Упр.642 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Сравните значения выражений, не вычисляя их:
   
   1) $$415 \cdot 425$$ и $$426 \cdot 414$$;
   
   2) $$1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569$$ и $$1\,234\,568^2$$.
2. Является ли тождеством равенство:
   $$(a-2)(a-3)(a+3)(a+2)+a^2=(a^2-б)^2?$$

1) Представим произведения в виде разности квадратов:

$$415 \cdot 425 = (420 — 5)(420 + 5) = 420^2 — 25,$$
$$426 \cdot 414 = (420 + 6)(420 — 6) = 420^2 — 36.$$

Так как $$420^2 — 25 > 420^2 — 36,$$ то

$$415 \cdot 425 > 426 \cdot 414.$$

2) Аналогично:

$$1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 = (1\,234\,568 — 1)(1\,234\,568 + 1) = 1\,234\,568^2 — 1.$$

Следовательно,

$$1\,234\,568^2 — 1 < 1\,234\,568^2,$$

значит

$$1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 < 1\,234\,568^2.$$

3) Проверим тождество:

$$(a-2)(a-3)(a+3)(a+2)+a^2$$

Сгруппируем множители:

$$(a-2)(a+2) = a^2 — 4,\qquad (a-3)(a+3) = a^2 — 9.$$

Тогда

$$(a^2-4)(a^2-9)+a^2 = a^4 — 9a^2 — 4a^2 + 36 + a^2 = a^4 — 12a^2 + 36.$$

С другой стороны,

$$(a^2-6)^2 = a^4 — 12a^2 + 36.$$

Левые и правые части равны при любом значении $$a$$, значит это тождество.

Ответ

1) $$415 \cdot 425 > 426 \cdot 414$$;
2) $$1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 < 1\,234\,568^2$$;
3) да, равенство является тождеством.