Упр.641 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Чему равно значение выражения:
   1) $$81^{15}\cdot 8^{20}-(6^{30}+1)(6^{30}-1)$$;
   2) $$5^{24}-(5^3-2)(5^3+2)(5^6+4)(5^{12}+16)$$?
2. Решите уравнение:
   1) $$x^2+12x+36=0$$;
   2) $$25x^2-30x+9=0$$.

1. $$81^{15}\cdot 8^{20}-(6^{30}+1)(6^{30}-1)$$

   Представим числа в виде степеней простых множителей:
   $$81=3^4,\quad 8=2^3,\quad 6=3\cdot 2.$$

   Тогда
   $$81^{15}\cdot 8^{20}=(3^4)^{15}\cdot (2^3)^{20}=3^{60}\cdot 2^{60}=6^{60}.$$

   А произведение разности и суммы:
   $$(6^{30}+1)(6^{30}-1)=6^{60}-1.$$

   Следовательно,
   $$6^{60}-(6^{60}-1)=1.$$

2. $$5^{24}-(5^3-2)(5^3+2)(5^6+4)(5^{12}+16)$$

   Сначала перемножим первые два множителя:
   $$(5^3-2)(5^3+2)=5^6-4.$$

   Тогда выражение примет вид:
   $$5^{24}-(5^6-4)(5^6+4).$$

   Используем формулу разности квадратов:
   $$(5^6-4)(5^6+4)=5^{12}-16.$$

   Получаем:
   $$5^{24}-(5^{12}-16)(5^{12}+16).$$

   Снова применим формулу разности квадратов:
   $$(5^{12}-16)(5^{12}+16)=5^{24}-256.$$

   Тогда
   $$5^{24}-(5^{24}-256)=256.$$

3. $$x^2+12x+36=0$$

   $$x^2+12x+36=(x+6)^2,$$
   значит
   $$(x+6)^2=0.$$

   $$x+6=0,\quad x=-6.$$

4. $$25x^2-30x+9=0$$

   $$25x^2-30x+9=(5x-3)^2,$$
   значит
   $$(5x-3)^2=0.$$

   $$5x-3=0,\quad 5x=3,\quad x=\frac{3}{5}.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$256$$; 3) $$x=-6$$; 4) $$x=\frac{3}{5}$$.