Упр.639 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)$$ делится нацело на 7.
2. Какое число надо прибавить к многочлену $$100m^4+120m^2+40$$, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена?

1) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$(9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)$$
$$=81n^2-16-(32n^2+24n-8n-6)+30n+45$$
$$=81n^2-16-32n^2-16n+6+30n+45$$
$$=49n^2+14n+35$$
$$=7(7n^2+2n+5).$$

Следовательно, выражение делится нацело на $$7$$ при любом натуральном $$n$$.

2) Подберём число, которое нужно прибавить к многочлену $$100m^4+120m^2+40$$, чтобы получить квадрат двучлена.

$$100m^4+120m^2+40=(10m^2)^2+2\cdot 10m^2\cdot 6+40.$$

Чтобы это было квадратом двучлена, нужно, чтобы последний член был равен $$6^2=36$$. Значит, вместо $$40$$ должно быть $$36$$, то есть нужно прибавить $$-4$$.

$$100m^4+120m^2+40-4=100m^4+120m^2+36=(10m^2+6)^2.$$

Ответ

1) $$7(7n^2+2n+5)$$, выражение делится на $$7$$.
2) $$-4$$.