Упр.638 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что не существует такого натурального числа $$n$$, при котором значение выражения $$(4n+3)(9n-4)-(6n-5)(6n+5)-3(n-2)$$ делится нацело на $$8$$.
2. Какое число надо прибавить к многочлену $$81a^2b^2-36ab+9$$, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена?

1) Упростим выражение:

$$(4n+3)(9n-4)-(6n-5)(6n+5)-3(n-2)$$
$$= (36n^2-16n+27n-12)-(36n^2-25)-3n+6$$
$$= 36n^2+11n-12-36n^2+25-3n+6$$
$$= 8n+19.$$

Число $$8n$$ делится на $$8$$, а число $$19$$ на $$8$$ не делится. Значит, всё выражение имеет вид $$8k+3$$ и нацело на $$8$$ делиться не может.

2) Рассмотрим многочлен:

$$81a^2b^2-36ab+9.$$

Первые и вторые члены подсказывают квадрат двучлена:

$$81a^2b^2=(9ab)^2,\qquad -36ab=-2\cdot 9ab \cdot 2.$$

Чтобы получить квадрат двучлена, нужно заменить число $$9$$ на $$4$$:

$$81a^2b^2-36ab+4=(9ab-2)^2.$$

Значит, к данному многочлену надо прибавить $$-5$$.

Ответ

1) Такое натуральное число $$n$$ не существует. 2) $$-5$$.