Упр.614 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

(а2 + b2 + с2) (m2 + n2 + k2) — (am + bn + ck)2 = = (an — bm)2 + (ak — cm)2 + (bk — cn)2.

Подробный ответ

В турнире по олимпийской системе после каждого матча выбывает один теннисист. Чтобы определить победителя среди $$n$$ участников, нужно, чтобы выбыли все, кроме одного.

Значит, число матчей равно:

$$n-1$$

Докажем тождество:

$$ (a^2+b^2+c^2)(m^2+n^2+k^2)-(am+bn+ck)^2=(an-bm)^2+(ak-cm)^2+(bk-cn)^2. $$

Раскроем скобки в левой части:

$$ (a^2+b^2+c^2)(m^2+n^2+k^2)=a^2m^2+a^2n^2+a^2k^2+b^2m^2+b^2n^2+b^2k^2+c^2m^2+c^2n^2+c^2k^2 $$

$$ (am+bn+ck)^2=a^2m^2+b^2n^2+c^2k^2+2ambn+2amck+2bnck $$

Тогда

$$ \begin{aligned} &(a^2+b^2+c^2)(m^2+n^2+k^2)-(am+bn+ck)^2 \\ &=a^2n^2+a^2k^2+b^2m^2+b^2k^2+c^2m^2+c^2n^2-2ambn-2amck-2bnck. \end{aligned} $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ \begin{aligned} &a^2n^2-2ambn+b^2m^2=(an-bm)^2,\\ &a^2k^2-2amck+c^2m^2=(ak-cm)^2,\\ &b^2k^2-2bnck+c^2n^2=(bk-cn)^2. \end{aligned} $$

Следовательно,