Упр.614 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

В турнире, организованном по олимпийской системе (проигравший выбывает), участвовали $$n$$ теннисистов. Какое количество матчей надо провести, чтобы определить победителя турнира?
Тождество Ж. Л. Лагранжа. Докажите тождество:
$$\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(m^2+n^2+k^2\right)-\left(am+bn+ck\right)^2=\left(an-bm\right)^2+\left(ak-cm\right)^2+\left(bk-cn\right)^2.$$

Подробный ответ

В турнире по олимпийской системе после каждого матча выбывает один теннисист. Чтобы определить победителя среди $$n$$ участников, нужно, чтобы выбыли все, кроме одного.

Значит, число матчей равно:

$$n-1$$

Докажем тождество:

$$(a^2+b^2+c^2)(m^2+n^2+k^2)-(am+bn+ck)^2=(an-bm)^2+(ak-cm)^2+(bk-cn)^2.$$

Раскроем скобки в левой части:

$$(a^2+b^2+c^2)(m^2+n^2+k^2)=a^2m^2+a^2n^2+a^2k^2+b^2m^2+b^2n^2+b^2k^2+c^2m^2+c^2n^2+c^2k^2$$

$$(am+bn+ck)^2=a^2m^2+b^2n^2+c^2k^2+2ambn+2amck+2bnck$$

Тогда

$$\begin{aligned} &(a^2+b^2+c^2)(m^2+n^2+k^2)-(am+bn+ck)^2 \\ &=a^2n^2+a^2k^2+b^2m^2+b^2k^2+c^2m^2+c^2n^2-2ambn-2amck-2bnck. \end{aligned}$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\begin{aligned} &a^2n^2-2ambn+b^2m^2=(an-bm)^2,\\ &a^2k^2-2amck+c^2m^2=(ak-cm)^2,\\ &b^2k^2-2bnck+c^2n^2=(bk-cn)^2. \end{aligned}$$

Следовательно,