Упр.607 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Известно, что при некоторых значениях х и у выполняется равенство х2 + у2 = 1. Найдите при этих же значениях х и у значение выражения 2х4 + 3х2у2 + у4 + у2. Остаток при делении некоторого натурального числа на 9 равен 5. Чему равен остаток при делении на 9 квадрата этого числа?

1) Используем равенство $$x^2+y^2=1$$ и преобразуем выражение:

$$ 2x^4+3x^2y^2+y^4+y^2 =2x^4+2x^2y^2+x^2y^2+y^4+y^2 $$

$$ =2x^2(x^2+y^2)+y^2(x^2+y^2)+y^2 $$

$$ =2x^2\cdot 1+y^2\cdot 1+y^2 =2x^2+2y^2 =2(x^2+y^2)=2\cdot 1=2. $$

2) Пусть натуральное число имеет вид $$n=9x+5$$. Тогда

$$ n^2=(9x+5)^2=81x^2+90x+25. $$

Представим это так:

$$ 81x^2+90x+25=9(9x^2+10x+2)+7. $$

Значит, при делении на 9 квадрат этого числа даёт остаток $$7$$.

Ответ

$$2; \ 7$$