Упр.607 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Известно, что при некоторых значениях $$x$$ и $$y$$ выполняется равенство $$x^2+y^2=1$$. Найдите при этих же значениях $$x$$ и $$y$$ значение выражения $$2x^4+3x^2y^2+y^4+y^2$$.
2. Остаток при делении некоторого натурального числа на $$9$$ равен $$5$$. Чему равен остаток при делении на $$9$$ квадрата этого числа?

1) Используем равенство $$x^2+y^2=1$$ и преобразуем выражение:

$$2x^4+3x^2y^2+y^4+y^2 =2x^4+2x^2y^2+x^2y^2+y^4+y^2$$

$$=2x^2(x^2+y^2)+y^2(x^2+y^2)+y^2$$

$$=2x^2\cdot 1+y^2\cdot 1+y^2 =2x^2+2y^2 =2(x^2+y^2)=2\cdot 1=2.$$

2) Пусть натуральное число имеет вид $$n=9x+5$$. Тогда

$$n^2=(9x+5)^2=81x^2+90x+25.$$

Представим это так:

$$81x^2+90x+25=9(9x^2+10x+2)+7.$$

Значит, при делении на 9 квадрат этого числа даёт остаток $$7$$.

Ответ

$$2; \ 7$$