Упр.606 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$, большем $$1$$, значение выражения $$3^{n+2}-2^{n+2}+3n-2n$$ делится нацело на $$10$$.
2. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на $$25$$ равен $$5$$, то квадрат этого числа кратен $$25$$.

1) Преобразуем выражение:

$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=3^n\cdot 3^2-2^n\cdot 2^2+3^n-2^n$$

$$=3^n(9+1)-2^n(4+1)=10\cdot 3^n-5\cdot 2^n$$

$$=5(2\cdot 3^n-2^n)=10\left(3^n-2^{n-1}\right).$$

Значит, выражение делится нацело на $$10$$ при любом натуральном $$n>1$$.

2) Пусть натуральное число имеет вид $$25k+5$$, где $$k$$ — целое неотрицательное число. Тогда

$$\left(25k+5\right)^2=625k^2+250k+25=25\left(25k^2+10k+1\right).$$

Следовательно, квадрат этого числа кратен $$25$$.

Ответ

$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$$ делится на $$10$$ при любом натуральном $$n>1$$; если число при делении на $$25$$ даёт остаток $$5$$, то его квадрат кратен $$25$$.