Упр.605 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Разложите на множители многочлен: а2 + b2 + с2 + 2аb + 2bс + 2ас. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4, то квадрат этого числа делится нацело на 16.

Разложим многочлен на множители, группируя слагаемые:

$$ a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac = a^2+ab+ac+b^2+ab+bc+c^2+ac+bc $$
$$ = a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c) $$
$$ = (a+b+c)(a+b+c) = (a+b+c)^2. $$

Докажем утверждение. Пусть натуральное число имеет вид $$16x+4$$, где $$x$$ — целое число.

$$ (16x+4)^2=256x^2+128x+16=16(16x^2+8x+1). $$

Следовательно, $$ (16x+4)^2 $$ делится нацело на $$16$$.

Ответ

$$ a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2, $$
а если число при делении на $$16$$ даёт остаток $$4$$, то его квадрат делится на $$16$$.