Упр.605 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Разложите на множители многочлен: $$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$$.
2. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на $$16$$ равен $$4$$, то квадрат этого числа делится нацело на $$16$$.

Разложим многочлен на множители, группируя слагаемые:

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac = a^2+ab+ac+b^2+ab+bc+c^2+ac+bc$$
$$= a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)$$
$$= (a+b+c)(a+b+c) = (a+b+c)^2.$$

Докажем утверждение. Пусть натуральное число имеет вид $$16x+4$$, где $$x$$ — целое число.

$$(16x+4)^2=256x^2+128x+16=16(16x^2+8x+1).$$

Следовательно, $$(16x+4)^2$$ делится нацело на $$16$$.

Ответ

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2,$$
а если число при делении на $$16$$ даёт остаток $$4$$, то его квадрат делится на $$16$$.