Упр.602 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Разложите на множители трёхчлен, представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:
   1) $$x^2+8x+12$$;
   2) $$x^2-5x+4$$;
   3) $$x^2+7x-8$$;
   4) $$x^2-4x-5$$.
2. Чему равен остаток при делении квадрата нечётного натурального числа на $$8$$?

1. $$x^2+8x+12=x^2+2x+6x+12=x(x+2)+6(x+2)=(x+2)(x+6).$$

2. $$x^2-5x+4=x^2-4x-x+4=x(x-4)-(x-4)=(x-4)(x-1).$$

3. $$x^2+7x-8=x^2+8x-x-8=x(x+8)-(x+8)=(x+8)(x-1).$$

4. $$x^2-4x-5=x^2-5x+x-5=x(x-5)+(x-5)=(x-5)(x+1).$$

Пусть нечётное натуральное число имеет вид $$2n+1$$. Тогда

$$(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1.$$

Числа $$n$$ и $$n+1$$ — последовательные, значит, одно из них делится на $$2$$. Тогда произведение $$n(n+1)$$ делится на $$2$$, а значит, $$4n(n+1)$$ делится на $$8$$.

Следовательно, при делении квадрата нечётного натурального числа на $$8$$ остаток равен $$1$$.

Ответ

1) $$(x+2)(x+6)$$; 2) $$(x-4)(x-1)$$; 3) $$(x+8)(x-1)$$; 4) $$(x-5)(x+1)$$; остаток $$1$$.