Упр.601 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Разложите на множители выражение ($$n$$ — натуральное число):
   1) $$а^{n+1}+а^n+а+1$$;
   2) $$b^{n+2}-b-1+6^{n+1}$$;
   3) $$3y^{n+3}-3у^2-5+5^{уn+1}$$.
2. Древнегреческий учёный Евклид (III в. до н. э.) доказывал формулы квадрата суммы и квадрата разности геометрически. Пользуясь рисунками 5 и 6, восстановите его доказательство.

1. 1)
   $$a^{n+1}+a^n+a+1=(a^{n+1}+a^n)+(a+1)=a^n(a+1)+(a+1)=(a+1)(a^n+1).$$

2. 2)
   $$b^{n+2}-b-1+b^{n+1}=(b^{n+2}+b^{n+1})-(b+1)=b^{n+1}(b+1)-(b+1)=(b+1)(b^{n+1}-1).$$

3. 3)
   $$3y^{n+3}-3y^2-5+5y^{n+1}=(3y^{n+3}+5y^{n+1})-(3y^2+5)=y^{n+1}(3y^2+5)-(3y^2+5)=(3y^2+5)(y^{n+1}-1).$$

По рисункам получаем формулы:

$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,$$

$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.$$

Ответ

$$a^{n+1}+a^n+a+1=(a+1)(a^n+1);$$
$$b^{n+2}-b-1+b^{n+1}=(b+1)(b^{n+1}-1);$$
$$3y^{n+3}-3y^2-5+5y^{n+1}=(3y^2+5)(y^{n+1}-1);$$
$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2;$$
$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.$$