Упр.6.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) x^4-5x^3+6x^2-7x+5=0; 2) x^8+x^4+1=x^7+x^3+x.

1) Рассмотрим уравнение

$$x^4-5x^3+6x^2-7x+5=0.$$

Перенесём и сгруппируем слагаемые:

$$x^4-5x^3+5x^2+x^2-7x+5=0,$$

$$\left(x^4+5x^2\right)-\left(5x^3+7x\right)+\left(x^2+5\right)=0,$$

$$x^2(x^2+5)+x(x^2+5)-x(5x^2+7)=0.$$

Удобнее записать так:

$$\left(x^2+5\right)\left(x^2+1\right)=x\left(5x^2+7\right).$$

Тогда

$$x=\frac{(x^2+5)(x^2+1)}{5x^2+7}.$$

Правая часть положительна при любом $x$, так как

$$x^2+5>0,\quad x^2+1>0,\quad 5x^2+7>0.$$

Значит, $$x>0.$$ Следовательно, отрицательных корней уравнение не имеет.

2) Рассмотрим уравнение

$$x^8+x^4+1=x^7+x^3+x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^8+x^4+1-x^7-x^3-x=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$x^7(x-1)+x^3(x-1)-(x-1)=0,$$

$$\left(x-1\right)\left(x^7+x^3-1\right)=0.$$

Отсюда либо

$$x=1,$$

либо

$$x^7+x^3=1.$$

Если бы $x<0$, то левая часть $x^7+x^3$ была бы отрицательной, а это невозможно. Значит, во втором случае тоже $$x>0.$$

Следовательно, отрицательных корней уравнение не имеет.

Ответ

1) Отрицательных корней нет. 2) Отрицательных корней нет.