Упр.6.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 6.36. Докажите, что выражение $$x^2+(x-1)^2$$ принимает только положительные значения.

Рассмотрим выражение:

$$x^2+(x-1)^2$$

Оба слагаемых неотрицательны при любых значениях $$x$$:

$$x^2 \ge 0,$$

$$(x-1)^2 \ge 0.$$

Сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательной. Проверим, может ли выражение равняться нулю:

$$x^2+(x-1)^2=0$$

Это возможно только тогда, когда одновременно

$$x^2=0 \quad \text{и} \quad (x-1)^2=0.$$

Но первое равенство даёт $$x=0$$, а второе — $$x=1$$. Одновременно это невозможно.

Значит, выражение всегда больше нуля, то есть принимает только положительные значения.

Ответ

$$x^2+(x-1)^2>0$$ при любых $$x$$.