Упр.578 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$a$$ имеет бесконечно много корней уравнение:
   1) $$(x-4)(x+a)-(x+2)(x-a)=-6$$;
   2) $$x(3x-2)-(x+2a)(3x+2)=5a+6$$?
2. Преобразуйте в многочлен выражение:
   1) $$(-x+1)^2$$;
   2) $$(-m-9)^2$$;
   3) $$(-5a+3b)^2$$;
   4) $$(-4x-8y)^2$$;
   5) $$(-0{,}7c-10d)^2$$;
   6) $$\left(-4a^2+\frac{1}{8}ab\right)^2$$.

1. Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, после раскрытия скобок левая часть должна тождественно совпасть с правой, то есть коэффициенты при $$x$$ и свободный член должны дать равенство при любом $$x$$.

   $$(x-4)(x+a)-(x+2)(x-a)=-6$$
   $$x^2+ax-4x-4a-x^2+ax-2x+2a=-6$$
   $$2ax-6x-2a=-6$$
   $$2x(a-3)=2a-6$$

   Для бесконечного числа корней нужно:
   $$a-3=0,\qquad 2a-6=0$$
   Отсюда
   $$a=3.$$

2. $$x(3x-2)-(x+2a)(3x+2)=5a+6$$
   $$3x^2-2x-3x^2-2x-6ax-4a=5a+6$$
   $$-4x-6ax-4a=5a+6$$
   $$-2x(2+3a)=9a+6$$

   Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, коэффициент при $$x$$ и свободный член должны быть равны нулю:
   $$2+3a=0,\qquad 9a+6=0$$
   Отсюда
   $$a=-\frac{2}{3}.$$

3. $$(-x+1)^2=(1-x)^2=1-2x+x^2$$

4. $$(-m-9)^2=(m+9)^2=m^2+18m+81$$

5. $$(-5a+3b)^2=(5a-3b)^2=25a^2-30ab+9b^2$$

6. $$(-4x-8y)^2=(4x+8y)^2=16x^2+64xy+64y^2$$

7. $$(-0{,}7c-10d)^2=(0{,}7c+10d)^2=0{,}49c^2+14cd+100d^2$$

8. $$\left(-4a^2+\frac18ab\right)^2=\left(4a^2-\frac18ab\right)^2$$
   $$=16a^4-a^3b+\frac1{64}a^2b^2$$

Ответ

1) $$a=3$$; 2) $$a=-\frac23$$; 3) $$1-2x+x^2$$; 4) $$m^2+18m+81$$; 5) $$25a^2-30ab+9b^2$$; 6) $$16x^2+64xy+64y^2$$; 7) $$0{,}49c^2+14cd+100d^2$$; 8) $$16a^4-a^3b+\frac1{64}a^2b^2$$.