Упр.574 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Разложите на множители (параметр $$n$$ — натуральное число):

1. $$a^{n+2}-a^n$$;
2. $$3b^{n+2}-2b^{n+1}+b^n$$;
3. $$3^{2n}+16^{2n+1}$$.

Решите уравнение:

1. $$\left(x+9\right)^2-x\left(x+8\right)=1$$;
2. $$\left(x-11\right)^2=\left(x-7\right)\left(x-9\right)$$;
3. $$\left(x-4\right)\left(x+4\right)-\left(x+6\right)^2=-16$$;
4. $$\left(1-3x\right)^2-x\left(9x-2\right)=5$$.

1. $$a^{n+2}-a^n=a^n(a^2-1)=a^n(a-1)(a+1).$$

2. $$3b^{n+2}-2b^{n+1}+b^n=b^n(3b^2-2b+1).$$

3. $$32^n+16^{2n+1}=(2^5)^n+(2^4)^{2n+1}=2^{5n}+2^{8n+4}.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$2^{5n}+2^{8n+4}=2^{5n}\left(1+2^{3n+4}\right).$$

1. $$(x+9)^2-x(x+8)=1$$

   $$x^2+18x+81-x^2-8x=1$$

   $$10x+81=1$$

   $$10x=-80$$

   $$x=-8.$$

2. $$(x-11)^2=(x-7)(x-9)$$

   $$x^2-22x+121=x^2-16x+63$$

   $$-22x+121=-16x+63$$

   $$-6x=-58$$

   $$x=\frac{58}{6}=\frac{29}{3}.$$

3. $$(x-4)(x+4)-(x+6)^2=-16$$

   $$x^2-16-(x^2+12x+36)=-16$$

   $$-12x-52=-16$$

   $$-12x=36$$

   $$x=-3.$$

4. $$(1-3x)^2-x(9x-2)=5$$

   $$1-6x+9x^2-9x^2+2x=5$$

   $$1-4x=5$$

   $$-4x=4$$

   $$x=-1.$$

Ответ

$$a^n(a-1)(a+1);\quad b^n(3b^2-2b+1);\quad 2^{5n}\left(1+2^{3n+4}\right);$$
$$x=-8;\quad x=\frac{29}{3};\quad x=-3;\quad x=-1.$$