Упр.566 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если:
   1) $$a+b+c=0$$, то $$a^3b^3c^2+a^2b^4c^2+a^2b^3c^3=0$$;
   2) $$a^2-b^2=2ab+1$$, то $$a^6b^4-2a^5b^5-a^4b^6=a^4b^4$$.
2. Меню состоит из $$101$$ блюда. Докажите, что количество способов выбора обеда из нечётного количества блюд равно количеству способов выбора обеда из чётного количества блюд при условии, что заказать все блюда из меню нельзя.

1. Если $$a+b+c=0,$$ то

   $$a^3b^3c^2+a^2b^4c^2+a^2b^3c^3=a^2b^3c^2(a+b+c).$$

   Так как $$a+b+c=0,$$ получаем

   $$a^2b^3c^2(a+b+c)=a^2b^3c^2\cdot 0=0.$$

   Следовательно, равенство верно.

2. Если $$a^2-b^2=2ab+1,$$ то

   $$a^6b^4-2a^5b^5-a^4b^6=a^4b^4(a^2-2ab-b^2).$$

   Из условия имеем

   $$a^2-b^2=2ab+1,$$

   значит

   $$a^2-2ab-b^2=1.$$

   Тогда

   $$a^4b^4(a^2-2ab-b^2)=a^4b^4\cdot 1=a^4b^4.$$

   Следовательно, равенство верно.

3. Пусть из 101 блюда выбирают обед, но нельзя заказать все блюда. Тогда можно выбирать любое непустое подмножество из 101 блюда, кроме полного набора.

   Всего блюд 101 — нечётное число. Если рассматривать все подмножества, кроме пустого и полного, то каждому набору из чётного числа блюд соответствует набор из нечётного числа блюд, получающийся добавлением или удалением одного блюда. Так как полное множество исключено, число способов выбрать обед из нечётного числа блюд равно числу способов выбрать обед из чётного числа блюд.

Ответ

1) Верно. 2) Верно. 3) Количество способов выбора обеда из нечётного числа блюд равно количеству способов выбора из чётного числа блюд.