Упр.563 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что значение выражения:
- $$19^5+19^4$$ кратно 20;
- $$8^{10}-8^9-8^8$$ кратно 11;
- $$8^7+2^{15}$$ кратно 5;
- $$2\cdot3^{2006}+5\cdot3^{2005}+7\cdot3^{2004}$$ кратно 10;
- $$27^4-9^5$$ кратно 24;
- $$12^4-4^6$$ кратно 130.
- Для каждой пары выражений найдите все значения $$a$$, при которых значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения:
- $$a$$ и $$3a$$;
- $$a^2$$ и $$3a^2$$;
- $$a^2+1$$ и $$3a^2+3$$.
$$19^5+19^4=19^4(19+1)=19^4\cdot 20,$$
значит, выражение кратно $$20$$.$$8^{10}-8^9-8^8=8^8(8^2-8-1)=8^8(64-8-1)=8^8\cdot 55,$$
значит, выражение кратно $$11$$.$$8^7+2^{15}=(2^3)^7+2^{15}=2^{21}+2^{15}=2^{15}(2^6+1)=2^{15}\cdot 65,$$
значит, выражение кратно $$5$$.$$2\cdot 3^{2006}+5\cdot 3^{2005}+7\cdot 3^{2004}=3^{2004}(2\cdot 3^2+5\cdot 3+7)$$
$$=3^{2004}(18+15+7)=3^{2004}\cdot 40,$$
значит, выражение кратно $$10$$.$$27^4-9^5=(3^3)^4-(3^2)^5=3^{12}-3^{10}=3^{10}(3^2-1)=3^{10}\cdot 8=3^9\cdot 24,$$
значит, выражение кратно $$24$$.$$12^4-4^6=(2^2\cdot 3)^4-(2^2)^6=2^8\cdot 3^4-2^{12}=2^8(3^4-2^4)$$
$$=2^8(81-16)=2^8\cdot 65=2^7\cdot 130,$$
значит, выражение кратно $$130$$.
Для каждой пары выражений найдём значения $$a$$, при которых второе выражение в $$3$$ раза больше первого.
$$3a=3\cdot a,$$
это верно при любом $$a>0$$.$$3a^2=3\cdot a^2,$$
это верно при любом $$a\ne 0$$.$$3a^2+3=3(a^2+1),$$
значит, это верно при любом $$a$$.
Ответ
1) кратно $$20$$; 2) кратно $$11$$; 3) кратно $$5$$; 4) кратно $$10$$; 5) кратно $$24$$; 6) кратно $$130$$.
Для пар выражений: 1) $$a>0$$; 2) $$a\ne 0$$; 3) $$a$$ — любое число.
