Упр.553 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Разложите на множители:

   1) $$2a^5b^2-4a^3b+6a^2b^3$$;

   2) $$mn^3+5m^2n^2-7m^2n$$;

   3) $$xy^2+x^2y-xy$$;

   4) $$9x^3+4x^2-x$$;

   5) $$-6m^4-8m^5-2m^6$$;

   6) $$42a^4b-28a^3b^2-70a^5b^3$$.

2. Докажите, что:

   1) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел;

   2) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8.

1. Вынесем общий множитель:

   $$2a^5b^2-4a^3b+6a^2b^3=2a^2b(a^3b-2a+3b^2).$$

2. Вынесем общий множитель:

   $$mn^3+5m^2n^2-7m^2n=mn(n^2+5mn-7m).$$

3. Вынесем общий множитель:

   $$xy^2+x^2y-xy=xy(y+x-1).$$

4. Вынесем общий множитель:

   $$9x^3+4x^2-x=x(9x^2+4x-1).$$

5. Вынесем общий множитель:

   $$-6m^4-8m^5-2m^6=-2m^4(3+4m+m^2).$$

6. Вынесем общий множитель:

   $$42a^4b-28a^3b^2-70a^5b^3=14a^3b(3a-2b-5a^2b^2).$$

7. Пусть два последовательных чётных числа — это $$2n$$ и $$2n+2$$. Тогда

   $$(2n+2)^2-(2n)^2=(2n+2-2n)(2n+2+2n)=2(4n+2)=8n+4.$$

   Сумма этих чисел равна

   $$2n+(2n+2)=4n+2,$$

   поэтому

   $$2\bigl(2n+(2n+2)\bigr)=2(4n+2)=8n+4.$$

   Значит, разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел.

8. Пусть два последовательных нечётных числа — это $$2n-1$$ и $$2n+1$$. Тогда

   $$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1-(2n-1))(2n+1+(2n-1))=2\cdot 4n=8n.$$

   Полученное выражение делится нацело на $$8$$.

Ответ

1) $$2a^5b^2-4a^3b+6a^2b^3=2a^2b(a^3b-2a+3b^2);$$

2) $$mn^3+5m^2n^2-7m^2n=mn(n^2+5mn-7m);$$

3) $$xy^2+x^2y-xy=xy(y+x-1);$$

4) $$9x^3+4x^2-x=x(9x^2+4x-1);$$

5) $$-6m^4-8m^5-2m^6=-2m^4(3+4m+m^2);$$

6) $$42a^4b-28a^3b^2-70a^5b^3=14a^3b(3a-2b-5a^2b^2);$$

7) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел;

8) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на $$8$$.