Упр.552 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что:
   1) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел;
   2) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4.

1) Пусть два последовательных натуральных числа — это $$n$$ и $$n+1$$. Тогда

$$(n+1)^2-n^2=(n+1-n)(n+1+n)=1\cdot(2n+1)=2n+1.$$

С другой стороны, сумма этих чисел равна

$$n+(n+1)=2n+1.$$

Следовательно,

$$(n+1)^2-n^2=n+(n+1),$$

что и требовалось доказать.

2) Пусть два последовательных чётных числа — это $$2n$$ и $$2n+2$$. Тогда

$$(2n+2)^2-(2n)^2=(2n+2-2n)(2n+2+2n)=2(4n+2)=4(2n+1).$$

Получили, что разность квадратов делится на $$4$$ нацело.

Ответ

1) $$(n+1)^2-n^2=n+(n+1)$$; 2) $$(2n+2)^2-(2n)^2$$ делится на $$4$$.