Упр.529 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Остаток при делении натурального числа $$a$$ на $$8$$ равен $$3$$, а остаток при делении натурального числа $$b$$ на $$8$$ равен $$7$$. Докажите, что остаток при делении произведения чисел $$a$$ и $$b$$ на $$8$$ равен $$5$$.
2. Решите уравнение:

Пусть $$a=8n+3,$$ $$b=8m+7,$$ где $$n$$ и $$m$$ — натуральные числа.

Тогда

$$ab=(8n+3)(8m+7)=64nm+56n+24m+21.$$

Первые три слагаемых делятся на $$8,$$ а

$$21=8\cdot 2+5.$$

Значит, при делении числа $$ab$$ на $$8$$ остаток равен $$5.$$

1) $$\frac{4x-1}{12}-\frac{3x+1}{8}=x+1$$

Умножим обе части на $$24$$:

$$2(4x-1)-3(3x+1)=24(x+1)$$

$$8x-2-9x-3=24x+24$$

$$-x-5=24x+24$$

$$-25x=29$$

$$x=-\frac{29}{25}=-1\frac{4}{25}.$$

2) $$\frac{3x-2}{9}-\frac{2x+1}{6}=\frac{5-x}{3}$$

Умножим обе части на $$18$$:

$$2(3x-2)-3(2x+1)=6(5-x)$$

$$6x-4-6x-3=30-6x$$

$$-7=30-6x$$

$$6x=37$$

$$x=\frac{37}{6}=6\frac{1}{6}.$$

Ответ

Остаток равен $$5$$; 1) $$x=-\frac{29}{25}$$; 2) $$x=\frac{37}{6}$$.