Упр.528 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что если $$ab+bc+ac=0$$, то: $$(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2.$$
Старинная египетская задача. У каждого из 7 человек есть по 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Масса одной горсти равна 80 г. Сколько горстей зерна ежегодно спасают благодаря кошкам? Сколько это составляет тонн зерна? Ответ округлите до сотых.

Подробный ответ

Раскроем скобки в левой части:

$$(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)$$
$$= a^2-ac-ab+bc+b^2-ab-bc+ac+c^2-bc-ac+ab$$
$$= a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac.$$

По условию $$ab+bc+ac=0$$, значит

$$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=a^2+b^2+c^2.$$

Следовательно,

$$(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2.$$

Теперь решим задачу про кошек.

За одно лето кошки спасают:

$$7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7=7^5=16807$$

горстей зерна.

Масса одной горсти $$80$$ г, значит масса спасённого зерна: