Упр.527 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Остаток при делении натурального числа $$x$$ на 6 равен 3, а остаток при делении натурального числа $$y$$ на 6 равен 2. Докажите, что произведение чисел $$x$$ и $$y$$ делится нацело на 6.
2. Один автомобиль может перевезти собранный с поля урожай за 10 ч, другой — за 12 ч, а третий — за 15 ч. За сколько часов они смогут перевезти урожай, работая вместе?

Пусть $$x=6n+3,$$ $$y=6m+2,$$ где $$n$$ и $$m$$ — натуральные числа.

Тогда

$$xy=(6n+3)(6m+2)=36nm+12n+18m+6=6(6nm+2n+3m+1).$$

Следовательно, произведение $$xy$$ делится нацело на $$6$$, так как является произведением числа $$6$$ и целого выражения.

Пусть весь урожай принят за $$1$$. Тогда за 1 час первый автомобиль перевозит $$\frac{1}{10}$$ урожая, второй — $$\frac{1}{12}$$, третий — $$\frac{1}{15}$$.

Их совместная производительность:

$$\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15} =\frac{6+5+4}{60} =\frac{15}{60} =\frac{1}{4}.$$

Значит, весь урожай они перевезут за

$$1:\frac{1}{4}=4.$$

Ответ

$$xy$$ делится нацело на $$6$$; $$4$$ часа.