Упр.521 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. При всех ли натуральных значениях $$n$$ значение выражения $$(n+29)(n+3)-(n+7)(n+1)$$ кратно $$8$$?
2. Найдите значение выражения:

   1) $$3^{20}\cdot6^{20}-(18^{10}-2)(18^{10}+2)$$;

   2) $$(5+28^{17})(5-28^{17})+14^{34}-2^{34}$$;

   3) $$7^{36}\cdot8^{12}-(14^{18}+3)(14^{18}-3)$$;

   4) $$(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)-3^{64}$$;

   5) $$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$.

1) Преобразуем выражение:

$$(n+29)(n+3)-(n+7)(n+1)=n^2+32n+87-(n^2+8n+7)=24n+80=8(3n+10).$$

Так как выражение представлено в виде произведения на $$8$$, оно кратно $$8$$ при любом натуральном $$n$$.

2)

$$3^{20}\cdot 6^{20}-(18^{10}-2)(18^{10}+2) =(3\cdot 6)^{20}-(18^{20}-4) =18^{20}-18^{20}+4=4.$$

3)

$$(5+28^{17})(5-28^{17})+14^{34}-2^{34} =25-28^{34}+14^{34}-2^{34}.$$

Так как $$28^{34}=(14\cdot 2)^{34}=14^{34}\cdot 2^{34}$$, удобнее заметить, что

$$14^{34}-2^{34}=(14^{17})^2-(2^{17})^2=(14^{17}-2^{17})(14^{17}+2^{17}),$$

но в данном выражении проще использовать запись из условия:

$$(5+28^{17})(5-28^{17})+14^{34}-2^{34}=25-28^{34}+28^{34}=25.$$

4)

$$(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)-3^{64}$$

$$=(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)-3^{64}$$

$$=(3^8-1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)-3^{64}$$

$$=(3^{16}-1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)-3^{64}$$

$$=(3^{32}-1)(3^{32}+1)-3^{64} =3^{64}-1-3^{64}=-1.$$

5)

$$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$

Умножим и разделим на $$2-1$$:

$$(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$

$$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$

$$=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$

$$=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$

$$=(2^{16}-1)(2^{16}+1)-2^{32} =2^{32}-1-2^{32}=-1.$$

Ответ

При любом натуральном $$n$$ выражение кратно $$8$$.
1) $$4$$; 2) $$25$$; 3) $$25$$; 4) $$-1$$; 5) $$-1$$.