Упр.520 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. При всех ли натуральных значениях $$n$$ значение выражения $$(n+9)(n+11)-(n+3)(n+5)$$ кратно $$12$$?
2. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)$$ делится нацело на $$7$$.

1) Упростим выражение:

$$(n+9)(n+11)-(n+3)(n+5)$$

$$= n^2+20n+99-(n^2+8n+15)$$

$$= 12n+84 = 12(n+7).$$

Следовательно, при любом натуральном $$n$$ это выражение кратно $$12$$.

2) Упростим второе выражение:

$$(9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)$$

$$= (81n^2-16)-(32n^2+24n-8n-6)+30n+45$$

$$= 81n^2-16-32n^2-16n+6+30n+45$$

$$= 49n^2+14n+35 = 7(7n^2+2n+5).$$

Значит, при любом натуральном $$n$$ это выражение делится на $$7$$.

Ответ

Да, первое выражение при любом натуральном $$n$$ кратно $$12$$, а второе при любом натуральном $$n$$ делится на $$7$$.