Упр.519 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   
   1) $$3a^2+10a+3=3(a+3)\left(a+\frac{1}{3}\right)$$;
   
   2) $$(a+1)(a^2+5a+6)=(a^2+3a+2)(a+3)$$.
2. Докажите, что не существует такого натурального числа $$n$$, при котором значение выражения $$(4n+3)(9n-4)-(6n-5)(6n+5)-3(n-2)$$ делится нацело на $$8$$.

1) Раскроем скобки в правой части:

$$3(a+3)\left(a+\frac13\right)=3\left(a^2+\frac13a+3a+1\right)=3a^2+10a+3.$$

Левая и правая части равны, значит тождество верно.

2) Раскроем скобки в обеих частях:

$$(a+1)(a^2+5a+6)=a^3+5a^2+6a+a^2+5a+6=a^3+6a^2+11a+6,$$

$$(a^2+3a+2)(a+3)=a^3+3a^2+3a^2+9a+2a+6=a^3+6a^2+11a+6.$$

Обе части совпадают, значит тождество верно.

3) Упростим выражение:

$$(4n+3)(9n-4)-(6n-5)(6n+5)-3(n-2)$$

$$=36n^2-16n+27n-12-(36n^2-25)-3n+6$$

$$=8n+19.$$

Число $$8n+19$$ при делении на $$8$$ даёт остаток $$3$$, так как $$8n$$ делится на $$8$$, а $$19$$ на $$8$$ не делится. Значит, это выражение не делится нацело на $$8$$ ни при каком натуральном $$n$$.

Ответ

1) Тождество верно.
2) Тождество верно.
3) Не существует такого натурального числа $$n$$, при котором выражение делится нацело на $$8$$.