Упр.518 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   
   1) $$x^2-8x+7=(x-1)(x-7)$$;
   
   2) $$y^2(y-7)(y+2)=y^4-5y^3-14y^2$$;
   
   3) $$a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)$$;
   
   4) $$(a-1)(a+1)(a^2+1)=a^4-1$$;
   
   5) $$(a^4-a^2+1)(a^4+a^2+1)=a^8+a^4+1$$.
2. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(7n+8)(7n-8)-(5n+10)(5n-10)$$ делится нацело на 12.

1. $$x^2-8x+7=x^2-7x-x+7=x(x-7)-1(x-7)=(x-1)(x-7).$$

2. $$y^2(y-7)(y+2)=y^2(y^2+2y-7y-14)=y^4+2y^3-7y^3-14y^2=y^4-5y^3-14y^2.$$

3. $$a^3-8=a^3-2^3=(a-2)(a^2+2a+4).$$

4. $$(a-1)(a+1)(a^2+1)=(a^2-1)(a^2+1)=a^4-1.$$

5. $$(a^4-a^2+1)(a^4+a^2+1)=\bigl((a^4+1)-a^2\bigr)\bigl((a^4+1)+a^2\bigr)$$
   $$=(a^4+1)^2-a^4=a^8+2a^4+1-a^4=a^8+a^4+1.$$

Докажем, что выражение $$(7n+8)(7n-8)-(5n+10)(5n-10)$$ делится нацело на $$12$$ при любом натуральном $$n$$.

Раскроем скобки:
$$(7n+8)(7n-8)=49n^2-64,$$
$$(5n+10)(5n-10)=25n^2-100.$$

Тогда
$$(7n+8)(7n-8)-(5n+10)(5n-10)=49n^2-64-(25n^2-100)=24n^2+36.$$

Вынесем общий множитель:
$$24n^2+36=12(2n^2+3).$$
Значит, выражение делится нацело на $$12$$.

Ответ

1) $$x^2-8x+7=(x-1)(x-7)$$;
2) $$y^2(y-7)(y+2)=y^4-5y^3-14y^2$$;
3) $$a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)$$;
4) $$(a-1)(a+1)(a^2+1)=a^4-1$$;
5) $$(a^4-a^2+1)(a^4+a^2+1)=a^8+a^4+1$$;
$$(7n+8)(7n-8)-(5n+10)(5n-10)$$ делится на $$12$$ при любом натуральном $$n$$.