Упр.517 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Длина прямоугольника на $$2\ \text{см}$$ больше его ширины. Если длину увеличить на $$2\ \text{см}$$, а ширину уменьшить на $$4\ \text{см}$$, то площадь прямоугольника уменьшится на $$40\ \text{см}^2$$. Найдите исходные длину и ширину прямоугольника.
2. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
   1) $$(x-9)(x+9)-(x+19)(x-19)$$;
   2) $$(2a-b)(2a+b)+(b-c)(b+c)+(c-2a)(c+2a)$$.

Обозначим ширину прямоугольника через $$x$$ см, тогда его длина равна $$x+2$$ см.

Исходная площадь:

$$S=x(x+2).$$

После изменения размеров длина станет $$x+4$$ см, а ширина — $$x-4$$ см. Тогда новая площадь равна

$$S_1=(x+4)(x-4).$$

По условию площадь уменьшилась на $$40$$ см², значит:

$$(x+4)(x-4)=x(x+2)-40$$

Раскроем скобки:

$$x^2-16=x^2+2x-40$$

$$-16=2x-40$$

$$2x=24$$

$$x=12$$

Значит, ширина прямоугольника равна $$12$$ см, а длина:

$$12+2=14$$

Теперь докажем, что значение выражения не зависит от переменной.

1)

$$(x-9)(x+9)-(x+19)(x-19)$$

Используем формулу разности квадратов:

$$x^2-81-(x^2-361)=x^2-81-x^2+361=280$$

Получили число, не зависящее от $$x$$.

2)

$$(2a-b)(2a+b)+(b-c)(b+c)+(c-2a)(c+2a)$$

Раскроем скобки по формуле разности квадратов:

$$4a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-4a^2=0$$

Это значение также не зависит от переменных.

Ответ

1) $$280$$; 2) $$0$$; ширина прямоугольника $$12$$ см, длина $$14$$ см.