Упр.516 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Периметр прямоугольника равен $$60\ \text{см}$$. Если одну его сторону уменьшить на $$5\ \text{см}$$, а другую увеличить на $$3\ \text{см}$$, то его площадь уменьшится на $$21\ \text{см}^2$$. Найдите стороны прямоугольника.

Решите уравнение:
1) $$(x-17)(x+17)=x^2+6x-49$$;
2) $$(1{,}2x-4)(1{,}2x+4)-(1{,}3x-2)(1{,}3x+2)=0{,}5x(8-0{,}5x)$$.

1. Пусть длина прямоугольника равна $$a$$ см, тогда ширина равна $$30-a$$ см, так как периметр равен $$60$$ см.

   Тогда площадь прямоугольника:

   $$S=a(30-a).$$

   После изменения сторон получим новую площадь:

   $$S_1=(a-5)(30-a+3)=(a-5)(33-a).$$

   По условию площадь уменьшилась на $$21$$ см$$^2$$, значит:

   $$a(30-a)-(a-5)(33-a)=21.$$

   Раскроем скобки:

   $$30a-a^2-(33a-a^2-165+5a)=21$$

   $$30a-a^2-33a+a^2+165-5a=21$$

   $$-8a+165=21$$

   $$-8a=-144$$

   $$a=18.$$

   Тогда вторая сторона равна:

   $$30-18=12.$$

2. $$(x-17)(x+17)=x^2+6x-49$$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$x^2-289=x^2+6x-49$$

   $$-289=6x-49$$

   $$6x=-240$$

   $$x=-40.$$

3. $$(1,2x-4)(1,2x+4)-(1,3x-2)(1,3x+2)=0,5x(8-0,5x)$$

   Применим формулу разности квадратов:

   $$1,44x^2-16-(1,69x^2-4)=4x-0,25x^2$$

   $$1,44x^2-16-1,69x^2+4=4x-0,25x^2$$

   $$-0,25x^2-12=4x-0,25x^2$$

   $$-12=4x$$

   $$x=-3.$$

Ответ

1) $$x=-40$$; 2) $$x=-3$$; стороны прямоугольника: $$18$$ см и $$12$$ см.