Упр.509 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что при любом значении переменной значение выражения $$\left(x+3\right)\left(x^2-4x+7\right)-\left(x^2-5\right)\left(x-1\right)$$ равно $$16$$.
Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество:
1. $$\left(8a^2b-\ast\right)\left(8a^2b+\ast\right)=\ast-25c^6$$;
2. $$\left(\ast-\frac{1}{12}x^4y^5\right)\left(\frac{1}{15}a^2+\ast\right)=\frac{1}{225}a^4-\frac{1}{44}x^8y^{10}$$.

Подробный ответ

Раскроем скобки в выражении:

$$(x+3)(x^2-4x+7)-(x^2-5)(x-1)$$
$$= x^3-4x^2+7x+3x^2-12x+21-(x^3-x^2-5x+5)$$
$$= x^3-4x^2+7x+3x^2-12x+21-x^3+x^2+5x-5$$
$$= 16.$$

Значит, при любом значении переменной значение выражения равно $$16$$.

1) Подберём одночлен так, чтобы получилась разность квадратов:

$$(8a^2b-5c^3)(8a^2b+5c^3)=(8a^2b)^2-(5c^3)^2=64a^4b^2-25c^6.$$

Следовательно, вместо звёздочки нужно поставить $$5c^3$$, а в правой части — $$64a^4b^2$$.

2) Аналогично:

$$\left(\frac{1}{15}a^2-\frac{1}{12}x^4y^5\right)\left(\frac{1}{15}a^2+\frac{1}{12}x^4y^5\right) = \left(\frac{1}{15}a^2\right)^2-\left(\frac{1}{12}x^4y^5\right)^2$$
$$=\frac{1}{225}a^4-\frac{1}{144}x^8y^{10}.$$

Значит, вместо звёздочек нужно поставить $$\frac{1}{15}a^2$$ и $$\frac{1}{12}x^4y^5$$.