Упр.507 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Преобразуйте в многочлен выражение:
   
   1) $$(a+1)(a-2)(a-6);$$
   
   2) $$(3a-2)(a+3)(a-7);$$
   
   3) $$(a^2-2a+1)(a^2+3a-2);$$
   
   4) $$(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1).$$
2. На какое выражение надо умножить многочлен $$7t^4+9p^5$$, чтобы произведение было равно многочлену $$49t^8-81p^{10}$$?

1. $$(a+1)(a-2)(a-3)$$
   $$(a+1)(a-2)=a^2-a-2$$
   $$(a^2-a-2)(a-3)=a^3-3a^2-a^2+3a-2a+6$$
   $$a^3-4a^2+a+6$$

2. $$(3a-2)(a+3)(a-7)$$
   $$(3a-2)(a+3)=3a^2+9a-2a-6=3a^2+7a-6$$
   $$(3a^2+7a-6)(a-7)=3a^3-21a^2+7a^2-49a-6a+42$$
   $$3a^3-14a^2-55a+42$$

3. $$(a^2-2a+1)(a^2+3a-2)$$
   $$a^2-2a+1=(a-1)^2$$
   $$(a^2-2a+1)(a^2+3a-2)=a^4+3a^3-2a^2-2a^3-6a^2+4a+a^2+3a-2$$
   $$a^4+a^3-7a^2+7a-2$$

4. $$(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1)$$
   $$=a^5-a^4+a^3-a^2+a+a^4-a^3+a^2-a+1$$
   $$=a^5+1$$

5. Пусть искомый множитель равен $$M$$. Тогда
   $$(7t^4+9p^5)\cdot M=49t^8-81p^{10}.$$
   Заметим, что
   $$49t^8-81p^{10}=(7t^4)^2-(9p^5)^2=(7t^4-9p^5)(7t^4+9p^5).$$
   Значит,
   $$M=7t^4-9p^5.$$

Ответ

1) $$a^3-4a^2+a+6$$;
2) $$3a^3-14a^2-55a+42$$;
3) $$a^4+a^3-7a^2+7a-2$$;
4) $$a^5+1$$;
$$7t^4-9p^5$$.