Упр.5.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 5.9. Какие из данных равенств являются тождествами: 1) $$(2a-3b)^2=(3b-2a)^2$$; 2) $$(a-b)^3=(b-a)^3$$; 3) $$|a+5|=a+5$$; 4) $$|a-b|=|b-a|$$; 5) $$|a^2+4|=a^2+4$$; 6) $$|a+b|=|a|+|b|$$; 7) $$|a-1|=|a|-1$$; 8) $$a^2-b^2=(a-b)^2$$?

1. $$(2a-3b)^2=(3b-2a)^2$$
   Так как $$3b-2a=-(2a-3b)$$, то при возведении в квадрат получаем равные выражения. Это тождество.
2. $$(a-b)^3=(b-a)^3$$
   Но $$b-a=-(a-b)$$, значит
   $$(b-a)^3=-(a-b)^3$$
   Равенство верно не при всех значениях переменных, значит это не тождество.
3. $$|a+5|=a+5$$
   Это верно только при $$a+5\ge 0$$, то есть не при всех $$a$$. Не тождество.
4. $$|a-b|=|b-a|$$
   Так как $$b-a=-(a-b)$$, а модуль не меняется при умножении на $$-1$$, равенство верно при любых $$a$$ и $$b$$. Это тождество.
5. $$|a^2+4|=a^2+4$$
   Поскольку $$a^2\ge 0$$, то $$a^2+4>0$$ при любых $$a$$. Значит модуль можно убрать:
   $$|a^2+4|=a^2+4$$
   Это тождество.
6. $$|a+b|=|a|+|b|$$
   Вообще говоря, это неверно, так как модуль суммы не равен сумме модулей при любых $$a$$ и $$b$$. Не тождество.
7. $$|a-1|=|a|-1$$
   Это равенство верно не всегда, значит не тождество.
8. $$a^2-b^2=(a-b)^2$$
   Левая часть равна
   $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$
   а правая:
   $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$
   Эти выражения не совпадают при любых $$a$$ и $$b$$, значит это не тождество.

Ответ

Тождествами являются равенства 1), 4), 5).