Упр.491 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- В магазине проводится акция: при покупке двух одинаковых коробок конфет третью такую же коробку можно приобрести со скидкой 40 %. Какое наибольшее количество коробок конфет можно приобрести, располагая 7500 р., если одна коробка стоит 450 р.?
- Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$, большем 1, значение выражения $$3^{n+2}-2^{n+2}+3n-2n$$ делится нацело на 10.
1) Скидка на третью коробку составляет $$450 \cdot 0{,}4 = 180$$ р.
Тогда третья коробка стоит $$450 — 180 = 270$$ р.
Стоимость трёх коробок по акции:
$$450 \cdot 2 + 270 = 900 + 270 = 1170$$
2) Найдём, сколько таких наборов можно купить на $$7500$$ р.:
$$7500 : 1170 = 6 \text{ (ост. } 480\text{)}$$
Значит, можно купить $$6 \cdot 3 = 18$$ коробок, и на оставшиеся $$480$$ р. купить ещё одну коробку за $$450$$ р.
Итак, всего можно купить $$18 + 1 = 19$$ коробок конфет.
3) Докажем делимость выражения на $$10$$:
$$3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n = 3^n(3^2+1) — 2^n(2^2+1) = 3^n \cdot 10 — 2^n \cdot 5$$
Так как $$2^n \cdot 5 = 2^{n-1} \cdot 10$$, то
$$3^n \cdot 10 — 2^n \cdot 5 = 10 \bigl(3^n — 2^{n-1}\bigr)$$
Следовательно, выражение делится нацело на $$10$$ при любом натуральном $$n > 1$$.
Ответ
19 коробок конфет; выражение делится нацело на 10.
