Упр.490 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Остаток при делении натурального числа $$m$$ на $$5$$ равен $$3$$, а остаток при делении натурального числа $$n$$ на $$3$$ равен $$2$$. Докажите, что значение выражения $$3m+5n$$ не делится нацело на $$15$$.
2. Разложите на множители многочлен: $$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$$.

1) Так как остаток при делении $$m$$ на $$5$$ равен $$3$$, то

$$m=5a+3,$$

а так как остаток при делении $$n$$ на $$3$$ равен $$2$$, то

$$n=3b+2,$$

где $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа.

Тогда

$$3m+5n=3(5a+3)+5(3b+2)=15a+9+15b+10=15a+15b+19.$$

Число $$15a+15b$$ делится на $$15$$, а число $$19$$ не делится на $$15$$. Значит, всё выражение $$3m+5n$$ нацело на $$15$$ не делится.

2) Разложим многочлен на множители:

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a^2+2ab+b^2)+(2ac+2bc+c^2)$$

Удобнее сразу заметить, что это полный квадрат суммы:

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2.$$

Ответ

$$3m+5n$$ нацело на $$15$$ не делится; $$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2.$$