Упр.489 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Остаток при делении натурального числа $$a$$ на 3 равен 1, а остаток при делении натурального числа $$b$$ на 9 равен 7. Докажите, что значение выражения $$4a+2b$$ делится нацело на 3.
2. Докажите, что при всех натуральных значениях $$n$$ значение выражения $$n^3+3n^2+2n$$ делится нацело на 6.

1) Так как остаток при делении числа $$a$$ на $$3$$ равен $$1$$, то $$a=3k+1$$, где $$k$$ — натуральное число или целое число.

Так как остаток при делении числа $$b$$ на $$9$$ равен $$7$$, то $$b=9m+7$$, где $$m$$ — целое число.

Тогда

$$4a+2b=4(3k+1)+2(9m+7)=12k+4+18m+14=12k+18m+18.$$

Вынесем $$6$$ за скобки:

$$12k+18m+18=6(2k+3m+3).$$

Значит, выражение $$4a+2b$$ делится нацело на $$3$$, так как оно кратно $$6$$.

2) Преобразуем выражение:

$$n^3+3n^2+2n=n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2).$$

Получилось произведение трёх последовательных натуральных чисел. Среди любых трёх последовательных чисел одно делится на $$2$$, а одно делится на $$3$$, значит, их произведение делится на $$6$$.

Следовательно, $$n^3+3n^2+2n$$ делится нацело на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$4a+2b$$ делится на $$3$$; $$n^3+3n^2+2n$$ делится на $$6$$ при всех натуральных $$n$$.