Упр.469 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$a(a+b)-b(a-b)=a^2+b^2$$;
   б) $$b(a-b)+b(b+c)=b(a+b)-b(b-c)$$.
2. Найдите все двузначные числа, равные произведению своих цифр, увеличенных на 1.

1) Раскроем скобки в левой части:

$$a(a+b)-b(a-b)=a^2+ab-ab+b^2=a^2+b^2.$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую и правую части:

$$b(a-b)+b(b+c)=ab-b^2+b^2+bc=ab+bc,$$

$$b(a+b)-b(b-c)=ab+b^2-b^2+bc=ab+bc.$$

Следовательно, обе части равны, значит тождество верно.

3) Пусть двузначное число имеет вид $$10a+b,$$ где $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц.

По условию:

$$10a+b=(a+1)(b+1).$$

Раскроем скобки:

$$10a+b=ab+a+b+1.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$10a+b-ab-a-b=1,$$

$$9a-ab=1,$$

$$a(9-b)=1.$$

Так как $$a$$ и $$9-b$$ — целые числа, то возможно только:

$$a=1,\quad 9-b=1,$$

откуда

$$b=8.$$

Искомое число: $$18.$$

Ответ

1) $$a(a+b)-b(a-b)=a^2+b^2$$; 2) $$b(a-b)+b(b+c)=b(a+b)-b(b-c)$$; 3) $$18$$.