Упр.468 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   
   1) $$ab(b-c)+ac(c-b)-a(b^2-3bc+c^2)=abc$$;
   
   2) $$4a(a+b)-a(3a-4b)-8ab=a^2$$;
   
   3) $$a(a+2b)+b(a+b)=b(2a+b)+a(a+b)$$;
   
   4) $$a(b+c-bc)-b(a+c-ac)=(a-b)c$$.
2. При каком значении $$a$$ имеет бесконечно много корней уравнение:
   
   1) $$(x-4)(x+a)-(x+2)(x-a)=-6$$;
   
   2) $$x(3x-2)-(x+2a)(3x+2)=5a+6$$?

1. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
   $$ab(b-c)+ac(c-b)-a(b^2-3bc+c^2)$$
   $$=ab^2-abc+ac^2-abc-ab^2+3abc-ac^2$$
   $$=abc.$$
   Тождество верно.

2. $$4a(a+b)-a(3a-4b)-8ab$$
   $$=4a^2+4ab-3a^2+4ab-8ab$$
   $$=a^2.$$
   Тождество верно.

3. Левая часть:
   $$a(a+2b)+b(a+b)=a^2+2ab+ab+b^2=a^2+3ab+b^2.$$
   Правая часть:
   $$b(2a+b)+a(a+b)=2ab+b^2+a^2+ab=a^2+3ab+b^2.$$
   Следовательно, тождество верно.

4. $$a(b+c-bc)-b(a+c-ac)$$
   $$=ab+ac-abc-ab-bc+abc$$
   $$=ac-bc=(a-b)c.$$
   Тождество верно.

Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, оно должно тождественно выполняться при любом $$x$$.

1. $$(x-4)(x+a)-(x+2)(x-a)=-6$$
   $$x^2+ax-4x-4a-x^2+ax-2x+2a=-6$$
   $$2ax-6x-2a=-6$$
   $$x(2a-6)=2a-6.$$
   Чтобы равенство было верно при любом $$x$$, нужно
   $$2a-6=0,$$
   откуда
   $$a=3.$$

2. $$x(3x-2)-(x+2a)(3x+2)=5a+6$$
   $$3x^2-2x-3x^2-2x-6ax-4a=5a+6$$
   $$-4x-6ax-4a=5a+6$$
   $$x(-4-6a)=9a+6.$$
   Для бесконечно многих корней коэффициент при $$x$$ и свободный член должны быть равны нулю:
   $$-4-6a=0,\qquad 9a+6=0.$$
   Из первого уравнения
   $$a=-\frac{2}{3},$$
   и это значение удовлетворяет второму.

Ответ

1) тождество верно;
2) тождество верно;
3) тождество верно;
4) тождество верно;
1) $$a=3$$;
2) $$a=-\frac{2}{3}$$.