Упр.454 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения: 1) $$12\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)$$; 2) $$36\left(\frac{17}{18}-\frac{5}{12}+\frac{4}{9}\right)$$; 3) $$\left(\frac{5}{8}+\frac{5}{14}\right)\cdot\frac{28}{25}$$.
2. Докажите, что значение выражения: 1) $$25^{25}-25^{24}$$ делится нацело на 12; 2) $$16^4+8^5-4^7$$ делится нацело на 10; 3) $$36^5+6^9$$ делится нацело на 42; 4) $$10^5-5^7$$ делится нацело на 7.

1. $$12\left(\frac14-\frac16\right)=12\cdot\frac14-12\cdot\frac16=3-2=1.$$
2. $$36\left(\frac{17}{18}-\frac{5}{12}+\frac49\right)=36\cdot\frac{17}{18}-36\cdot\frac{5}{12}+36\cdot\frac49=34-15+16=35.$$
3. $$\left(\frac58+\frac{5}{14}\right)\cdot\frac{28}{25}=\frac58\cdot\frac{28}{25}+\frac{5}{14}\cdot\frac{28}{25}=\frac45+\frac25=\frac65=1\frac15.$$

Докажем делимость:

1. $$25^{25}-25^{24}=25^{24}(25-1)=25^{24}\cdot24.$$
   Так как число $$24$$ делится нацело на $$12$$, то и всё выражение делится нацело на $$12$$.
2. $$16^4+8^5-4^7=(2^4)^4+(2^3)^5-(2^2)^7=2^{16}+2^{15}-2^{14}$$
   $$=2^{14}(2^2+2-1)=2^{14}\cdot5=2^{13}\cdot10.$$
   Значит, выражение делится нацело на $$10$$.
3. $$36^5+6^9=(6^2)^5+6^9=6^{10}+6^9=6^9(6+1)=6^9\cdot7.$$
   Так как $$6^9=6^8\cdot6$$ и $$6\cdot7=42$$, получаем
   $$6^9\cdot7=6^8\cdot42.$$
   Следовательно, выражение делится нацело на $$42$$.
4. $$10^5-5^7=(2\cdot5)^5-5^7=2^5\cdot5^5-5^7=5^5(32-25)=5^5\cdot7.$$
   Значит, выражение делится нацело на $$7$$.

Ответ

1) $$1$$; 2) $$35$$; 3) $$1\frac15$$; 4) все выражения делятся нацело на $$12$$, $$10$$, $$42$$ и $$7$$ соответственно.