Упр.447 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что не существует таких значений $$x$$ и $$y$$, при которых многочлены $$5x^2-6xy-7y^2$$ и $$-3x^2+6xy+8y^2$$ одновременно принимают отрицательные значения.
- Разложите на множители:
1) $$a(2a+b)(a+b)-4a(a+b)^2$$;
2) $$3m^2(m-8)+6m(m-8)^2$$;
3) $$(2a+3)(a+5)+(a-1)(a+5)$$;
4) $$(3x+7)(4y-1)-(4y-1)(2x+10)$$;
5) $$(5m-n)^3(m+8n)^2-(5m-n)^2(m+8n)^3$$.
Сложим данные многочлены:
$$(5x^2-6xy-7y^2)+(-3x^2+6xy+8y^2)=2x^2+y^2.$$
Так как $$2x^2 \ge 0$$ и $$y^2 \ge 0$$ при любых значениях $$x$$ и $$y$$, то
$$2x^2+y^2 \ge 0.$$
Если бы оба многочлена одновременно были отрицательными, то их сумма тоже была бы отрицательной. Но их сумма неотрицательна при любых $$x$$ и $$y$$. Значит, таких значений $$x$$ и $$y$$ не существует.
1)
$$a(2a+b)(a+b)-4a(a+b)^2 = a(a+b)\bigl((2a+b)-4(a+b)\bigr)$$
$$= a(a+b)(2a+b-4a-4b) = a(a+b)(-2a-3b).$$
2)
$$3m^2(m-8)+6m(m-8)^2 = 3m(m-8)\bigl(m+2(m-8)\bigr)$$
$$= 3m(m-8)(3m-16).$$
3)
$$(2a+3)(a+5)+(a-1)(a+5) = (a+5)\bigl((2a+3)+(a-1)\bigr)$$
$$= (a+5)(3a+2).$$
4)
$$(3x+7)(4y-1)-(4y-1)(2x+10) = (4y-1)\bigl((3x+7)-(2x+10)\bigr)$$
$$= (4y-1)(x-3).$$
5)
$$(5m-n)^3(m+8n)^2-(5m-n)^2(m+8n)^3$$
Вынесем общий множитель:
$$= (5m-n)^2(m+8n)^2\bigl((5m-n)-(m+8n)\bigr)$$
$$= (5m-n)^2(m+8n)^2(4m-9n).$$
Ответ
Таких значений $$x$$ и $$y$$ не существует.
1) $$a(a+b)(-2a-3b)$$;
2) $$3m(m-8)(3m-16)$$;
3) $$(a+5)(3a+2)$$;
4) $$(4y-1)(x-3)$$;
5) $$(5m-n)^2(m+8n)^2(4m-9n)$$.
