Упр.446 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что:
   
   1) сумма чисел $$abc$$, $$bca$$ и $$cab$$ кратна 111;
   
   2) разность числа $$abc$$ и суммы его цифр делится нацело на 9.
2. Докажите, что сумма любого натурального числа и его квадрата является чётным числом.

1) Пусть число abc означает трёхзначное число, тогда

$$abc=100a+10b+c,\quad bca=100b+10c+a,\quad cab=100c+10a+b.$$

Сложим эти числа:

$$abc+bca+cab=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)$$

$$=111a+111b+111c=111(a+b+c).$$

Значит, сумма чисел abc, bca и cab кратна $$111$$.

2) Найдём разность числа abc и суммы его цифр:

$$abc-(a+b+c)=100a+10b+c-(a+b+c)$$

$$=99a+9b=9(11a+b).$$

Следовательно, эта разность делится нацело на $$9$$.

3) Пусть $$n$$ — любое натуральное число. Тогда

$$n+n^2=n(1+n)=n(n+1).$$

Числа $$n$$ и $$n+1$$ — соседние, значит одно из них чётное. Тогда их произведение $$n(n+1)$$ чётно. Следовательно, сумма любого натурального числа и его квадрата — чётное число.

Ответ

1) $$abc+bca+cab=111(a+b+c)$$, значит сумма кратна $$111$$.
2) $$abc-(a+b+c)=9(11a+b)$$, значит разность делится на $$9$$.
3) $$n+n^2$$ — чётное число.