Упр.444 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что: 1) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна $$3$$; 2) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на $$7$$; 3) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на $$4$$; 4) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на $$10$$.
2. Вынесите за скобки общий множитель: 1) $$m^2n+mn+n$$; 2) $$3x^6+6x^5-15x^4$$; 3) $$7a^4b^3-14a^3b^4+21a^2b^5$$; 4) $$20b^6c^5-45b^5c^6-30b^5c^5$$.

1. Пусть три последовательных натуральных числа — это $$n,\, n+1,\, n+2$$. Тогда
   $$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1).$$
   Значит, сумма делится на $$3$$.
2. Пусть семь последовательных натуральных чисел — это $$n,\, n+1,\, n+2,\, n+3,\, n+4,\, n+5,\, n+6$$. Тогда
   $$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6)=7n+21=7(n+3).$$
   Значит, сумма делится на $$7$$.
3. Пусть четыре последовательных чётных натуральных числа — это $$2n,\, 2n+2,\, 2n+4,\, 2n+6$$. Тогда
   $$2n+(2n+2)+(2n+4)+(2n+6)=8n+12=4(2n+3).$$
   Значит, сумма делится на $$4$$.
4. Пусть пять последовательных чётных натуральных чисел — это $$2n-4,\, 2n-2,\, 2n,\, 2n+2,\, 2n+4$$. Тогда
   $$(2n-4)+(2n-2)+2n+(2n+2)+(2n+4)=10n=10n.$$
   Значит, сумма делится на $$10$$.

Вынесем общий множитель за скобки:

1. $$m^2n+mn+n=n(m^2+m+1).$$
2. $$3x^6+6x^5-15x^4=3x^4(x^2+2x-5).$$
3. $$7a^4b^3-14a^3b^4+21a^2b^5=7a^2b^3(a^2-2ab+3b^2).$$
4. $$20b^6c^5-45b^5c^6-30b^5c^5=5b^5c^5(4b-9c-6).$$

Ответ

1) $$3(n+1)$$; 2) $$7(n+3)$$; 3) $$4(2n+3)$$; 4) $$10n$$.
1) $$n(m^2+m+1)$$; 2) $$3x^4(x^2+2x-5)$$; 3) $$7a^2b^3(a^2-2ab+3b^2)$$; 4) $$5b^5c^5(4b-9c-6)$$.