Упр.442 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что выражение $$\left(7\mathrm{у}^2-9\mathrm{у}+8\right)-\left(3\mathrm{у}^2-6\mathrm{у}+4\right)+3\mathrm{у}$$ принимает положительное значение при любом значении $$\mathrm{у}$$. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении $$\mathrm{у}$$?
Представьте выражение в виде произведения многочленов:
1) $$\mathrm{с}(\mathrm{х}-3)-d(x-3)$$;
2) $$m(\mathrm{р}-k)-(\mathrm{р}-k)$$;
3) $$m(\mathrm{х}-\mathrm{у})-n(\mathrm{у}-\mathrm{х})$$;
4) $$\mathrm{х}(2-\mathrm{х})+4(\mathrm{х}-2)$$;
5) $$4\mathrm{х}(2\mathrm{х}-\mathrm{у})-5\mathrm{у}(\mathrm{у}-2\mathrm{х})$$;
6) $$(\mathrm{у}+1)^2-4\mathrm{у}(\mathrm{у}+1)$$;
7) $$10(\mathrm{а}^2-5)+(\mathrm{а}^2-5)$$;
8) $$(\mathrm{а}-2)^2-6(\mathrm{а}-2)$$.

Подробный ответ

Упростим выражение:

$$(7y^2-9y+8)-(3y^2-6y+4)+3y$$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$7y^2-9y+8-3y^2+6y-4+3y=4y^2+4$$

Получили:

$$4y^2+4=4(y^2+1)$$

Так как $$y^2 \ge 0$$ при любом значении $$y$$, то

$$4y^2+4 \ge 4$$

Следовательно, выражение всегда положительно. Наименьшее значение достигается при $$y=0$$:

$$4\cdot 0^2+4=4$$