Упр.432 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что значение разности двучленов $$13m+20n$$ и $$7m+2n$$, где $$m$$ и $$n$$ — произвольные натуральные числа, делится нацело на 6.
2. В каждой клетке доски размером $$5\times5$$ клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

Найдём разность данных двучленов:

$$(13m+20n)-(7m+2n)=13m+20n-7m-2n$$

$$=6m+18n=6(m+3n)$$

Так как выражение представлено в виде произведения числа $$6$$ и целого выражения $$m+3n$$, то оно делится нацело на $$6$$.

Вторая задача. На доске $$5\times 5$$ клеток всего $$25$$ клеток. Это нечётное число. Если в каждой клетке сидит жук и все жуки переползают на соседние клетки, то каждый жук меняет цвет клетки на противоположный при раскраске доски в два цвета. Так как клеток нечётное число, после переползания жуков на всех клетках одновременно оказаться не могут, значит, хотя бы одна клетка останется пустой.

Ответ

$$(13m+20n)-(7m+2n)=6(m+3n),$$
значит, разность делится нацело на $$6$$. На доске $$5\times 5$$ клеток обязательно останется пустая клетка.