Упр.428 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что значение выражения $$\left(9-18n\right)-\left(6n-7\right)$$ кратно 8 при любом натуральном значении $$n$$.
Докажите тождество:

1) $$18^{16n}=12^{8n}\cdot 9^{12n}$$;

2) $$75^{8n}=225^{4n}\cdot 625^{2n}$$,

где $$n$$ — натуральное число.

Подробный ответ

1) Упростим выражение:

$$(9-18n)-(6n-7)=9-18n-6n+7=16-24n=8(2-3n).$$

Так как $$8(2-3n)$$ делится на $$8$$ при любом натуральном $$n$$, то и всё выражение кратно $$8$$.

2) Докажем тождество:

$$18^{16n}=12^{8n}\cdot 9^{12n}.$$

Представим числа в виде простых множителей:

$$18=2\cdot 3^2,\quad 12=2^2\cdot 3,\quad 9=3^2.$$

Тогда

$$18^{16n}=(2\cdot 3^2)^{16n}=2^{16n}\cdot 3^{32n},$$
$$12^{8n}\cdot 9^{12n}=(2^2\cdot 3)^{8n}\cdot (3^2)^{12n} =2^{16n}\cdot 3^{8n}\cdot 3^{24n} =2^{16n}\cdot 3^{32n}.$$

Следовательно, $$18^{16n}=12^{8n}\cdot 9^{12n}$$.

3) Докажем тождество:

$$75^{8n}=225^{4n}\cdot 625^{2n}.$$

Разложим числа на множители:

$$75=3\cdot 5^2,\quad 225=3^2\cdot 5^2,\quad 625=5^4.$$

Тогда

$$75^{8n}=(3\cdot 5^2)^{8n}=3^{8n}\cdot 5^{16n},$$
$$225^{4n}\cdot 625^{2n}=(3^2\cdot 5^2)^{4n}\cdot (5^4)^{2n} =3^{8n}\cdot 5^{8n}\cdot 5^{8n} =3^{8n}\cdot 5^{16n}.$$

Следовательно, $$75^{8n}=225^{4n}\cdot 625^{2n}$$.