Упр.424 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (2х2 — 14х + 9) + (*) = 20 — 10х;
2) (19а4 — 7a2b + b3) — (*) = 20а4 + 5а2b.
Докажите, что если ab + bс + ас = 0, то:
(а — b) (а — с) + (b — с)(b — а) + (с — а)(с — b) = а2 + b2 + с2.

1. Найдём многочлен, который нужно записать вместо звёздочки:

   $$ (2x^2-14x+9)+(*)=20-10x $$

   $$ (*)=20-10x-(2x^2-14x+9) $$

   $$ (*)=20-10x-2x^2+14x-9 $$

   $$ (*)=-2x^2+4x+11 $$

2. Аналогично:

   $$ (19a^4-17a^2b+b^3)-(*)=20a^4+5a^2b $$

   $$ (*)=(19a^4-17a^2b+b^3)-(20a^4+5a^2b) $$

   $$ (*)=19a^4-17a^2b+b^3-20a^4-5a^2b $$

   $$ (*)=-a^4+b^3-22a^2b $$

3. Докажем тождество:

   $$ (a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2 $$

   Раскроем скобки:

   $$ (a-b)(a-c)=a^2-ac-ab+bc $$

   $$ (b-c)(b-a)=b^2-ab-bc+ac $$

   $$ (c-a)(c-b)=c^2-bc-ac+ab $$

   Сложим полученные выражения:

   $$ a^2-ac-ab+bc+b^2-ab-bc+ac+c^2-bc-ac+ab $$

   После сокращения получаем:

   $$ a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac) $$

   Так как $$ab+bc+ac=0$$, то

   $$ a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2 $$

   Что и требовалось доказать.

Ответ

1) $$-2x^2+4x+11$$; 2) $$-a^4+b^3-22a^2b$$; $$ (a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2 $$.