Упр.424 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество:
   
   1) $$\left(2x^2-14x+9\right)+(*)=20-10x$$;
   
   2) $$\left(19a^4-7a^2b+b^3\right)-(*)=20a^4+5a^2b$$.
2. Докажите, что если $$ab+bc+ac=0$$, то:
   $$\left(a-b\right)\left(a-c\right)+\left(b-c\right)\left(b-a\right)+\left(c-a\right)\left(c-b\right)=a^2+b^2+c^2$$.

1. Найдём многочлен, который нужно записать вместо звёздочки:

   $$(2x^2-14x+9)+(*)=20-10x$$

   $$(*)=20-10x-(2x^2-14x+9)$$

   $$(*)=20-10x-2x^2+14x-9$$

   $$(*)=-2x^2+4x+11$$

2. Аналогично:

   $$(19a^4-17a^2b+b^3)-(*)=20a^4+5a^2b$$

   $$(*)=(19a^4-17a^2b+b^3)-(20a^4+5a^2b)$$

   $$(*)=19a^4-17a^2b+b^3-20a^4-5a^2b$$

   $$(*)=-a^4+b^3-22a^2b$$

3. Докажем тождество:

   $$(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2$$

   Раскроем скобки:

   $$(a-b)(a-c)=a^2-ac-ab+bc$$

   $$(b-c)(b-a)=b^2-ab-bc+ac$$

   $$(c-a)(c-b)=c^2-bc-ac+ab$$

   Сложим полученные выражения:

   $$a^2-ac-ab+bc+b^2-ab-bc+ac+c^2-bc-ac+ab$$

   После сокращения получаем:

   $$a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)$$

   Так как $$ab+bc+ac=0$$, то

   $$a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2$$

   Что и требовалось доказать.

Ответ

1) $$-2x^2+4x+11$$; 2) $$-a^4+b^3-22a^2b$$; $$(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2$$.