Упр.423 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество:
   а) $$\ast-(3x^2-4xy+2y^2)=9x^2+y^2$$;
   б) $$a^3-6a^2+2a-\ast=a^5+2a^2-7$$.
2. Остаток при делении натурального числа $$m$$ на 11 равен 9, а остаток при делении натурального числа $$n$$ на 11 равен 5. Докажите, что остаток при делении произведения чисел $$m$$ и $$n$$ на 11 равен 1.

1. Пусть искомый многочлен в первом пункте равен $$*$$. Тогда

   $$*-(3x^2-4xy+2y^2)=9x^2+y^2.$$

   Перенесём вычитаемый многочлен в правую часть:

   $$* = 9x^2+y^2+(3x^2-4xy+2y^2).$$

   Сложим подобные слагаемые:

   $$* = 12x^2-4xy+3y^2.$$

2. Пусть искомый многочлен во втором пункте равен $$*$$. Тогда

   $$a^3-6a^2+2a-(* )=a^5+2a^2-7.$$

   Перенесём многочлен в правую часть:

   $$* = a^3-6a^2+2a-(a^5+2a^2-7).$$

   Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

   $$* = a^3-6a^2+2a-a^5-2a^2+7 = -a^5+a^3-8a^2+2a+7.$$

3. Пусть

   $$m=11a+9,\qquad n=11b+5,$$

   где $$a$$ и $$b$$ — целые числа. Тогда

   $$mn=(11a+9)(11b+5).$$

   Раскроем скобки:

   $$mn=121ab+55a+99b+45.$$

   Представим число $$45$$ в виде $$44+1$$:

   $$mn=121ab+55a+99b+44+1.$$

   Все слагаемые, кроме $$1$$, делятся на $$11$$:

   $$mn=11(11ab+5a+9b+4)+1.$$

   Значит, при делении $$mn$$ на $$11$$ остаток равен $$1$$.

Ответ

1) $$12x^2-4xy+3y^2$$; 2) $$-a^5+a^3-8a^2+2a+7$$; 3) остаток равен $$1$$.