Упр.421 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Какой многочлен надо прибавить к трёхчлену $$2a^2-5a+7$$, чтобы сумма была равна: 1) $$5$$; 2) $$0$$; 3) $$a^2$$; 4) $$-2a$$?
2. Остаток при делении натурального числа $$x$$ на $$6$$ равен $$3$$, а остаток при делении натурального числа $$y$$ на $$6$$ равен $$2$$. Докажите, что произведение чисел $$x$$ и $$y$$ делится нацело на $$6$$.

Пусть к данному трёхчлену надо прибавить многочлен M, чтобы сумма была равна заданному выражению. Тогда находим M как разность между требуемой суммой и данным трёхчленом:

1. $$\left(2a^2-5a+7\right)+M=5$$

   $$M=5-\left(2a^2-5a+7\right)=5-2a^2+5a-7=-2a^2+5a-2.$$

2. $$\left(2a^2-5a+7\right)+M=0$$

   $$M=-(2a^2-5a+7)=-2a^2+5a-7.$$

3. $$\left(2a^2-5a+7\right)+M=a^2$$

   $$M=a^2-\left(2a^2-5a+7\right)=a^2-2a^2+5a-7=-a^2+5a-7.$$

4. $$\left(2a^2-5a+7\right)+M=-2a$$

   $$M=-2a-\left(2a^2-5a+7\right)=-2a-2a^2+5a-7=-2a^2+3a-7.$$

Пусть $$x=6n+3,$$ $$y=6m+2.$$ Тогда

$$xy=(6n+3)(6m+2)=36mn+12n+18m+6=6(6mn+2n+3m+1).$$

Следовательно, $$xy$$ делится нацело на $$6$$.

Ответ

1) $$-2a^2+5a-2$$; 2) $$-2a^2+5a-7$$; 3) $$-a^2+5a-7$$; 4) $$-2a^2+3a-7$$; $$xy$$ делится на $$6$$.