Упр.42.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 42.41. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных, содержащихся в выражении, его значение не зависит от значений $$a$$ и $$b$$:
   $$\frac{a^2-b^2}{a+3b}\cdot\left(\frac{a+b}{a^2-2ab+b^2}+\frac{b}{a^2-b^2}\right)-\frac{b}{a-b}.$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{a^2-b^2}{a+3b}\left(\frac{a+b}{a^2-2ab+b^2}+\frac{b}{a^2-b^2}\right)-\frac{b}{a-b}.$$

Разложим многочлены на множители:

$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Тогда

$$\frac{a^2-b^2}{a+3b}\left(\frac{a+b}{(a-b)^2}+\frac{b}{(a-b)(a+b)}\right)-\frac{b}{a-b}.$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{a+b}{(a-b)^2}+\frac{b}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2+b(a-b)}{(a-b)^2(a+b)}.$$

Упростим числитель:

$$(a+b)^2+b(a-b)=a^2+2ab+b^2+ab-b^2=a^2+3ab.$$

Тогда

$$\frac{a^2-b^2}{a+3b}\cdot \frac{a^2+3ab}{(a-b)^2(a+b)}-\frac{b}{a-b}.$$

Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ получаем

$$\frac{(a-b)(a+b)}{a+3b}\cdot \frac{a^2+3ab}{(a-b)^2(a+b)}-\frac{b}{a-b} = \frac{a^2+3ab}{(a+3b)(a-b)}-\frac{b}{a-b}.$$

Вынесем общий знаменатель:

$$\frac{a(a+3b)}{(a+3b)(a-b)}-\frac{b(a+3b)}{(a-b)(a+3b)} = \frac{a-b}{a-b}=1.$$

Следовательно, при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от $$a$$ и $$b$$.

Ответ

$$1$$