Упр.42.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

(a^2-b^2)/(a+3b)·((a+b)/(a^2-2ab+b^2 )+b/(a^2-b^2 ))-b/(a-b).

Преобразуем выражение:

$$ \frac{a^2-b^2}{a+3b}\left(\frac{a+b}{a^2-2ab+b^2}+\frac{b}{a^2-b^2}\right)-\frac{b}{a-b}. $$

Разложим многочлены на множители:

$$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b). $$

Тогда

$$ \frac{a^2-b^2}{a+3b}\left(\frac{a+b}{(a-b)^2}+\frac{b}{(a-b)(a+b)}\right)-\frac{b}{a-b}. $$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{a+b}{(a-b)^2}+\frac{b}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2+b(a-b)}{(a-b)^2(a+b)}. $$

Упростим числитель:

$$ (a+b)^2+b(a-b)=a^2+2ab+b^2+ab-b^2=a^2+3ab. $$

Тогда

$$ \frac{a^2-b^2}{a+3b}\cdot \frac{a^2+3ab}{(a-b)^2(a+b)}-\frac{b}{a-b}. $$

Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ получаем

$$ \frac{(a-b)(a+b)}{a+3b}\cdot \frac{a^2+3ab}{(a-b)^2(a+b)}-\frac{b}{a-b} = \frac{a^2+3ab}{(a+3b)(a-b)}-\frac{b}{a-b}. $$

Вынесем общий знаменатель:

$$ \frac{a(a+3b)}{(a+3b)(a-b)}-\frac{b(a+3b)}{(a-b)(a+3b)} = \frac{a-b}{a-b}=1. $$

Следовательно, при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от $$a$$ и $$b$$.

Ответ

$$1$$