Упр.42.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 42.40. Найдите такую функцию f, удовлетворяющую условию 2f(x)+f(-1/x)=(3x^2-6)/x.

Пусть $$2f(x)+f\!\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{3x^2-6}{x}.$$

Заменим $$x$$ на $$-\frac{1}{x}$$. Тогда получим:

$$2f\!\left(-\frac{1}{x}\right)+f(x)=\frac{3\left(-\frac{1}{x}\right)^2-6}{-\frac{1}{x}}.$$

Упростим правую часть:

$$2f\!\left(-\frac{1}{x}\right)+f(x)=\frac{\frac{3}{x^2}-6}{-\frac{1}{x}}=\frac{3-6x^2}{x^2}\cdot(-x)=\frac{6x^2-3}{x}.$$

Теперь выразим $$f\!\left(-\frac{1}{x}\right)$$ из первого равенства:

$$f\!\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{3x^2-6}{x}-2f(x)\right).$$

Подставим это в полученное равенство:

$$2\cdot \frac{1}{2}\left(\frac{3x^2-6}{x}-2f(x)\right)+f(x)=\frac{6x^2-3}{x}.$$

Тогда

$$\frac{3x^2-6}{x}-2f(x)+f(x)=\frac{6x^2-3}{x},$$

$$\frac{3x^2-6}{x}-f(x)=\frac{6x^2-3}{x},$$

$$-f(x)=\frac{6x^2-3-(3x^2-6)}{x}=\frac{3x^2+3}{x}.$$

Отсюда

$$f(x)=-\frac{3x^2+3}{x}=-3x-\frac{3}{x}.$$

Проверим подстановкой:

$$2\left(-3x-\frac{3}{x}\right)+\left(3x+\frac{3}{x}\right)=-3x-\frac{3}{x}=\frac{3x^2-6}{x}$$

после упрощения действительно получается верное равенство.

Ответ

$$f(x)=-3x-\frac{3}{x}.$$