Упр.42.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 42.39. Найдите такую функцию $$f$$, удовлетворяющую условию $$3f(x)+2f(-x)=-\frac{2}{x}$$.

Пусть $$3f(x)+2f(-x)=-\frac{2}{x}.$$

Заменим $$x$$ на $$-x$$:

$$3f(-x)+2f(x)=\frac{2}{x}.$$

Выразим $$f(-x)$$:

$$3f(-x)=\frac{2}{x}-2f(x),$$

$$f(-x)=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}-2f(x)\right).$$

Подставим это выражение в исходное равенство:

$$3f(x)+2\cdot \frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}-2f(x)\right)=-\frac{2}{x}.$$

Упростим:

$$3f(x)+\frac{2}{3}\left(\frac{2}{x}-2f(x)\right)=-\frac{2}{x},$$

$$3f(x)+\frac{4}{3x}-\frac{4}{3}f(x)=-\frac{2}{x},$$

$$3f(x)-\frac{4}{3}f(x)=-\frac{2}{x}-\frac{4}{3x}.$$

Умножим обе части на $$3$$:

$$9f(x)-4f(x)=-\frac{6}{x}-\frac{4}{x},$$

$$5f(x)=-\frac{10}{x}.$$

Тогда

$$f(x)=-\frac{2}{x}.$$

Проверка:

$$3\left(-\frac{2}{x}\right)+2\left(-\frac{2}{-x}\right)=-\frac{6}{x}+\frac{4}{x}=-\frac{2}{x}.$$

Ответ

$$f(x)=-\frac{2}{x}.$$