Упр.42.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 42.38. Функция f такова, что f(x)=4/x. Докажите, что f(x+1)-f(x-1)=-1/2 f(x+1)·f(x-1).

Так как $$f(x)=\frac{4}{x},$$ то

$$f(x+1)=\frac{4}{x+1}, \qquad f(x-1)=\frac{4}{x-1}.$$

Тогда

$$f(x+1)-f(x-1)=\frac{4}{x+1}-\frac{4}{x-1}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4}{x+1}-\frac{4}{x-1}=\frac{4(x-1)-4(x+1)}{(x+1)(x-1)}.$$

Упростим числитель:

$$4(x-1)-4(x+1)=4x-4-4x-4=-8.$$

Значит,

$$f(x+1)-f(x-1)=\frac{-8}{(x+1)(x-1)}.$$

С другой стороны,

$$-\frac12 f(x+1)\cdot f(x-1)=-\frac12\cdot \frac{4}{x+1}\cdot \frac{4}{x-1}=\frac{-8}{(x+1)(x-1)}.$$

Следовательно,

$$f(x+1)-f(x-1)=-\frac12 f(x+1)\cdot f(x-1).$$

Ответ

Доказано.