Упр.415 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$(a^2+b^2-c^2)-(b^2+c^2-a^2)+(c^2-a^2)=a^2-c^2;$$
   б) $$(4-3a^2)-a^2+(7+2a^2)-(-2a^2+11)=0;$$
   в) $$(x^3+4x^2)-(x+6)+(1+x-x^3)=4x^2-5.$$
2. При всех ли натуральных значениях $$n$$ значение выражения $$(n+29)(n+3)-(n+7)(n+1)$$ кратно $$8$$?

1. $$\begin{aligned} (a^2+b^2-c^2)-(b^2+c^2-a^2)+(c^2-a^2) &=a^2+b^2-c^2-b^2-c^2+a^2+c^2-a^2 \\ &=a^2-c^2. \end{aligned}$$

2. $$\begin{aligned} (4-3a^2)-a^2+(7+2a^2)-(-2a^2+11) &=4-3a^2-a^2+7+2a^2+2a^2-11 \\ &=0. \end{aligned}$$

3. $$\begin{aligned} (x^3+4x^2)-(x+6)+(1+x-x^3) &=x^3+4x^2-x-6+1+x-x^3 \\ &=4x^2-5. \end{aligned}$$

4. $$\begin{aligned} (n+29)(n+3)-(n+7)(n+1) &=n^2+32n+87-(n^2+8n+7) \\ &=24n+80 \\ &=8(3n+10). \end{aligned}$$

   Так как выражение представлено в виде произведения на $$8$$, то оно кратно $$8$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

1) $$a^2-c^2$$; 2) $$0$$; 3) $$4x^2-5$$; 4) да, при всех натуральных $$n$$ выражение кратно $$8$$.